普林斯頓微積分讀本
作 者:(美)阿德里安 班納 著 楊爽//趙曉婷//高璞 譯
出 版 社:人民郵電出版社
出版日期:2016年10月01日
頁 數:648
裝 幀:平裝
ISBN:9787115435590
作者簡介
阿德里安·班納(Adrian Banner) 澳大利亞新南威爾士大學數學學士及碩士,普里斯頓大學數學博士。 2002年起任職於INTECH公司,現為INTECH公司首席執行官兼首席投資官。同時,他在普林斯頓大學教學數學系任兼職教師。
內容提要
阿德里安·班納著的《普林斯頓微積分讀本》闡述了求解微積分的技巧,詳細講解了微積分基礎、極限、連續、微分、導數的應用、積分、無窮級數、泰勒級數與冪級數等內容,旨在教會讀者如何思考問題從而找到解題所需的知識點,著重訓練大家自己解答問題的能力。
本書適用於大學低年級學生、高中高年級學生、想學習微積分的數學愛好者以及廣大數學教師,既可作為教材、習題集,也可作為學習指南,同時還有利於教師備課。
內容提要
阿德里安·班納著的《普林斯頓微積分讀本》闡述了求解微積分的技巧,詳細講解了微積分基礎、極限、連續、微分、導數的應用、積分、無窮級數、泰勒級數與冪級數等內容,旨在教會讀者如何思考問題從而找到解題所需的知識點,著重訓練大家自己解答問題的能力。
本書適用於大學低年級學生、高中高年級學生、想學習微積分的數學愛好者以及廣大數學教師,既可作為教材、習題集,也可作為學習指南,同時還有利於教師備課。
編輯
對於大多數學生來說,微積分或許是他們曾經上過的倍感迷茫且*受挫折的一門課程了. 而本書,不僅讓學生們能有效地學習微積分,更重要的是提供了戰勝微積分的工具.
這本經典著作源於風靡美國普林斯頓大學的阿德里安·班納教授的微積分複習課程,將易用性與可讀性以及內容的深度與數學的嚴謹完美地結合在了一起,激勵學生不再懼怕微積分,並在考試中獲得高分。
作者阿德里安·班納是美國普林斯頓大學的數學教授,並擔任新技術研究中心主任. Adrian Banner教授的授課風格是非正式的、有吸引力並完全不強求的,甚至在不失其詳盡性的基礎上又增添了許多娛樂性,而且他不會跳過討論一個問題的任何步驟.
作者獨創的“內心獨白”方式——即問題求解過程中學生們應遵循的思考過程——為我們提供了不可或缺的推理過程以及求解方案.本書的重點在於創建問題求解的技巧.其中涉及的例題從簡單到復雜並對微積分理論進行了深入探討.讀者會在非正式的對話語境中體會微積分的無窮魅力.
目錄
第1章 函數、圖像和直線1
1.1函數1
1.1.1區間表示法3
1.1.2求定義域3
1.1.3利用圖像求值域4
1.1.4垂線檢驗5
1.2反函數6
1.2.1水平線檢驗7
1.2.2求反函數8
1.2.3限制定義域8
1.2.4反函數的反函數9
1.3函數的複合10
1.4奇函數和偶函數12
1.5線性函數的圖像14
1.6常見函數及其圖像16
第2章 三角學回顧21
2.1基本知識21
2.2擴展三角函數定義域23
2.2.1 ASTC方法25
2.2.2 [0; 2π]以外的三角函數27
2.3三角函數的圖像29
2.4三角恆等式32
第3章 極限導論34
3.1極限:基本思想34
3.2左極限與右極限36
3.3何時不存在極限37
3.4在∞和-∞處的極限38
3.5關於漸近線的兩個常見誤解41
3.6三明治定理43
3.7極限的基本類型小結45
第4章 求解多項式的極限問題47
4.1 x→a時的有理函數的極限47
4.2 x→a時的平方根的極限50
4.3 x→∞時的有理函數的極限51
4.4 x→∞時的多項式型函數的極限56
4.5 x→-∞時的有理函數的極限59
4.6包含絕對值的函數的極限61
第5章 連續性和可導性63
5.1連續性63
5.1.1在一點處連續63
5.1.2在一個區間上連續64
5.1.3連續函數的一些例子65
5.1.4介值定理67
5.1.5一個更難的介值定理例子69
5.1.6連續函數的最大值和最小值70
5.2可導性71
5.2.1平均速率72
5.2.2位移和速度72
5.2.3瞬時速度73
5.2.4速度的圖像闡釋74
5.2.5切線75
5.2.6導函數77
5.2.7作為極限比的導數78
5.2.8線性函數的導數80
5.2.9二階導數和更高階導數80
5.2.10何時導數不存在81
5.2.11可導性和連續性82
第6章 求解微分問題84
6.1使用定義求導84
6.2用更好的辦法求導87
6.2.1函數的常數倍88
6.2.2函數和與函數差88
6.2.3通過乘積法則求積函數的導數88
6.2.4通過商法則求商函數的導數90
6.2.5通過鍊式求導法則求復合函數的導數91
6.2.6那個難以處理的例子94
6.2.7乘積法則和鍊式求導法則的理由96
6.3求切線方程98
6.4速度和加速度99
6.5導數偽裝的極限101
6.6分段函數的導數103
6.7直接畫出導函數的圖像106
第7章 三角函數的極限和導數111
7.1三角函數的極限111
7.1.1小數的情況111
7.1.2問題的求解——小數的情況113
7.1.3大數的情況117
7.1.4“其他的”情況120
7.1.5一個重要極限的證明121
7.2三角函數的導數124
7.2.1求三角函數導數的例子127
7.2.2簡諧運動128
7.2.3一個有趣的函數129
第8章 隱函數求導和相關變化率132
8.1隱函數求導132
8.1.1技巧和例子133
8.1.2隱函數求二階導137
8.2相關變化率138
8.2.1一個簡單的例子139
8.2.2一個稍難的例子141
8.2.3一個更難的例子142
8.2.4一個非常難的例子144
第9章 指數函數和對數函數148
9.1基礎知識148
9.1.1指數函數的回顧148
9.1.2對數函數的回顧149
9.1.3對數函數、指數函數及反函數150
9.1.4對數法則151
9.2 e的定義153
9.2.1一個有關複利的問題153
9.2.2問題的答案154
9.2.3更多關於e和對數函數的內容156
9.3對數函數和指數函數求導158
9.4求解指數函數或對數函數的極限161
9.4.1涉及e的定義的極限161
9.4.2指數函數在0附近的行為162
9.4.3對數函數在1附近的行為164
9.4.4指數函數在∞或-∞附近的行為164
9.4.5對數函數在∞附近的行為167
9.4.6對數函數在0附近的行為168
9.5取對數求導法169
9.6指數增長和指數衰變173
9.6.1指數增長174
9.6.2指數衰變176
9.7雙曲函數178
第10章 反函數和反三角函數181
10.1導數和反函數181
10.1.1使用導數證明反函數存在181
10.1.2導數和反函數:可能出現的問題182
10.1.3求反函數的導數183
10.1.4一個綜合性例子185
10.2反三角函數187
10.2.1反正弦函數187
10.2.2反餘弦函數190
10.2.3反正切函數192
10.2.4反正割函數194
10.2.5反餘割函數和反餘切函數195
10.2.6計算反三角函數196
10.3反雙曲函數199
第11章 導數和圖像202
11.1函數的極值202
11.1.1全局極值和局部極值202
11.1.2極值定理203
11.1.3求全局最大值和最小值204
11.2羅爾定理206
11.3中值定理209
11.4二階導數和圖像212
11.5對導數為零點的分類215
11.5.1使用一次導數215
11.5.2使用二階導數217
第12章 繪製函數圖像219
12.1建立符號表格219
12.1.1建立一階導數的符號表格221
12.1.2建立二階導數的符號表格222
12.2繪製函數圖像的全面方法224
12.3例題225
12.3.1一個不使用導數的例子225
12.3.2完整的方法:例一227
12.3.3完整的方法:例二229
12.3.4完整的方法:例三231
12.3.5完整的方法:例四234
第13章 最優化和線性化239
13.1最優化239
13.1.1一個簡單的最優化例子239
13.1.2最優化問題:一般方法240
13.1.3一個最優化的例子241
13.1.4另一個最優化的例子242
13.1.5在最優化問題中使用隱函數求導246
13.1.6一個較難的最優化例子246
13.2線性化249
13.2.1線性化問題:一般方法251
13.2.2微分252
13.2.3線性化的總結和例子254
13.2.4近似中的誤差256
13.3牛頓法258
第14章 洛必達法則及極限問題總結263
14.1洛必達法則263
14.1.1類型A:0/0263
14.1.2類型A:±∞/±∞266
14.1.3類型B1: (∞-∞)267
14.1.4類型B2: (0×±∞)269
14.1.5類型C:??(1±∞, 0o或∞o)270
14.1.6洛必達法則類型的總結272
14.2關於極限的總結273
第15章 積分276
15.1求和符號276
15.1.1一個有用的求和279
15.1.2伸縮求和法280
15.2位移和麵積283
15.2.1三個簡單的例子283
15.2.2一段更常規的旅行285
15.2.3有向面積287
15.2.4連續的速度288
15.2.5兩個特別的估算291
第16章 定積分293
16.1基本思想293
16.2定積分的定義297
16.3定積分的性質301
16.4求面積305
16.4.1求通常的面積306
16.4.2求解兩條曲線之間的面積308
16.4.3求曲線與y軸所圍成的面積310
16.5估算積分313
16.6積分的平均值和中值定理316
16.7不可積的函數319
第17章 微積分基本定理321
17.1用其他函數的積分來表示的函數321
17.2微積分的第一基本定理324
17.3微積分的第二基本定理328
17.4不定積分329
17.5怎樣解決問題:微積分的第一基本定理331
17.5.1變形1:變量是積分下限332
17.5.2變形2:積分上限是一個函數332
17.5.3變形3:積分上下限都為函數334
17.5.4變形4:極限偽裝成導數335
17.6怎樣解決問題:微積分的第二基本定理336
17.6.1計算不定積分336
17.6.2計算定積分339
17.6.3面積和絕對值341
17.7技術要點344
17.8微積分第一基本定理的證明345
第18章 積分的方法I347
18.1換元法347
18.1.1換元法和定積分350
18.1.2如何換元353
18.1.3換元法的理論解釋355
18.2分部積分法356
18.3部分分式361
18.3.1部分分式的代數運算361
18.3.2對每一部分積分365
18.3.3方法和一個完整的例子367
第19章 積分的方法II373
19.1應用三角恆等式的積分373
19.2關於三角函數的冪的積分376
19.2.1 sin或cos的冪376
19.2.2 tan的冪378
19.2.3 sec的冪379
19.2.4 cot的冪381
19.2.5 csc的冪382
19.2.6約化公式382
19.3關於三角換元法的積分384
19.3.1類型1:384
19.3.2類型2:386
19.3.3類型3:387
19.3.4配方和三角換元法388
19.3.5關於三角換元法的總結389
19.3.6平方根的方法和三角換元法389
19.4積分技巧總結391
第20章 反常積分:基本概念393
20.1收斂和發散393
20.1.1反常積分的一些例子395
20.1.2其他破裂點397
20.2關於無窮區間上的積分398
20.3比較判別法(理論)400
20.4極限比較判別法(理論)402
20.4.1函數互為漸近線402
20.4.2關於判別法的陳述404
20.5 p判別法(理論)405
20.6絕對收斂判別法407
第21章 反常積分:如何解題410
21.1如何開始410
21.1.1拆分積分410
21.1.2如何處理負函數值411
21.2積分判別法總結413
21.3常見函數在∞和-∞附近的表現414
21.3.1多項式和多項式型函數在1和?1附近的表現415
21.3.2三角函數在∞和-∞附近的表現417
21.3.3指數在∞和-∞附近的表現419
21.3.4對數在∞附近的表現422
21.4常見函數在0附近的表現426
21.4.1多項式和多項式型函數在0附近的表現426
21.4.2三角函數在0附近的表現427
21.4.3指數函數在0附近的表現429
21.4.4對數函數在0附近的表現430
21.4.5更一般的函數在0附近的表現431
21.5如何應對不在0或∞處的瑕點432
第22章 數列和級數:基本概念434
22.1數列的收斂和發散434
22.1.1數列和函數的聯繫435
22.1.2兩個重要數列436
22.2級數的收斂與發散438
22.3第n項判別法(理論)442
22.4無窮級數和反常積分的性質443
22.4.1比較判別法(理論)443
22.4.2極限比較判別法(理論)444
22.4.3ρ判別法(理論)444
22.4.4絕對收斂判別法445
22.5級數的新判別法447
22.5.1比式判別法(理論)447
22.5.2根式判別法(理論)449
22.5.3積分判別法(理論)450
22.5.4交錯級數判別法(理論)453
第23章 求解級數問題455
23.1求幾何級數的值455
23.2應用第n項判別法457
23.3應用比式判別法457
23.4應用根式判別法461
23.5應用積分判別法462
23.6應用比較判別法、極限比較判別法和p判別法463
23.7應對含負項的級數468
第24章 泰勒多項式、泰勒級數和冪級數導論472
24.1近似值和泰勒多項式472
24.1.1重訪線性化472
24.1.2二次近似473
24.1.3高階近似474
24.1.4泰勒定理475
24.2冪級數和泰勒級數478
24.2.1一般冪級數479
24.2.2泰勒級數和麥克勞林級數481
24.2.3泰勒級數的收斂性481
24.3一個有用的極限485
第25章 求解估算問題487
25.1泰勒多項式與泰勒級數總結487
25.2求泰勒多項式與泰勒級數488
25.3用誤差項估算問題491
25.3.1第一個例子492
25.3.2第二個例子494
25.3.3第三個例子495
25.3.4第四個例子496
25.3.5第五個例子497
25.3.6誤差項估算的一般方法499
25.4誤差估算的另一種方法499
第26章 泰勒級數和冪級數:如何解題502
26.1冪級數的收斂性502
26.1.1收斂半徑502
26.1.2求收斂半徑和收斂區域504
26.2合成新的泰勒級數508
26.2.1代換和泰勒級數509
26.2.2泰勒級數求導511
26.2.3泰勒級數求積分512
26.2.4泰勒級數相加和相減514
26.2.5泰勒級數相乘515
26.2.6泰勒級數相除516
26.3利用冪級數和泰勒級數求導517
26.4利用麥克勞林級數求極限519
第27章 參數方程和極坐標523
27.1參數方程523
27.2極坐標528
27.2.1極坐標與笛卡兒坐標互換529
27.2.2極坐標系中畫曲線530
27.2.3求極坐標曲線的切線534
27.2.4求極坐標曲線圍成的面積535
第28章 複數538
28.1基礎538
28.2復平面541
28.3複數的高次冪544
28.4解 w545
28.5解 =w550
28.6一些三角級數552
28.7歐拉恆等式和冪級數554
第29章 體積、弧長和表面積556
29.1旋轉體的體積556
29.1.1圓盤法557
29.1.2殼法558
29.1.3總結和變式560
29.1.4變式1:區域在曲線和y軸之間561
29.1.5變式2:兩曲線間的區域562
29.1.6變式3:繞平行於坐標軸的軸旋轉565
29.2一般立體體積567
29.3弧長571
29.4旋轉體的表面積574
第30章 微分方程578
30.1微分方程導論578
30.2可分離變量的一階微分方程579
30.3一階線性方程581
30.4常係數微分方程585
30.4.1解一階齊次方程586
30.4.2解二階齊次方程586
30.4.3為什麼特徵二次方程適用587
30.4.4非齊次方程和特解588
30.4.5求特解589
30.4.6求特解的例子590
30.4.7解決yP和yH間的衝突592
30.4.8 IVP593
30.5微分方程建模595
附錄A極限及其證明598
A.1極限的正式定義598
A.2由原極限產生新極限602
A.3極限的其他情形606
A.4連續與極限611
A.5再談指數函數和對數函數616
A.6微分與極限618
A.7泰勒近似定理的證明627
附錄B估算積分629
B.1使用條紋估算積分629
B.2梯形法則632
B.3辛普森法則634
B.4近似的誤差636
符號列表640
索引643
普林斯頓概率論讀本
作 者:(美)史蒂文·J.米勒 著 李馨 譯
出 版 社:人民郵電出版社
出版日期:2020年09月01日
頁 數:664
裝 幀:平裝
ISBN:9787115543776
內容介紹
本書講解概率論的基礎內容, 包括組合分析、概率論公理、條件概率、離散型隨機變量、 連續型隨機變量、隨機變量的聯合分佈、期望的性質、極限定理和模擬等, 內容豐富, 通俗易懂, 並配有豐富的例子和大量習題, 涉及物理學、生物學、化學、遺傳學、博弈論、經濟學等多方面的應用,**具啟發性。
目錄
第 一部分 一般性理論
第 1章 引言 2
1.1 生日問題 3
1.1.1 陳述問題 3
1.1.2 解決問題 6
1.1.3 對問題和答案的推廣:效率 11
1.1.4 數值檢驗 14
1.2 從投籃到幾何級數 16
1.2.1 問題和解答 16
1.2.2 相關問題 22
1.2.3 一般問題的解決技巧 25
1.3 賭博 28
1.3.1 2008年超級碗賭注 29
1.3.2 預期收益 29
1.3.3 對沖的價值 31
1.3.4 結論 32
1.4 總結 33
1.5 習題 35
第 2章 基本概率定律 41
2.1 悖論 42
2.2 集合論綜述 44
2.2.1 編程漫談 48
2.2.2 無窮大的大小和概率 50
2.2.3 開集和閉集 52
2.3 結果空間、事件和概率公理 54
2.4 概率公理 59
2.5 基本概率規則 61
2.5.1 全概率公式 62
2.5.2 併的概率 63
2.5.3 包含的概率 66
2.6 概率空間和σ代數 67
2.7 附錄:實驗性地找出規律 72
2.7.1 乘積求導法則 73
2.7.2 併的概率 74
2.8 總結 75
2.9 習題 75
第3章 計數I:紙牌 80
3.1 階乘和二項式係數 81
3.1.1 階乘函數 81
3.1.2 二項式係數 85
3.1.3 總結 90
3.2 撲克牌 90
3.2.1 規則 91
3.2.2 *小牌型 93
3.2.3 對子 95
3.2.4 兩對 98
3.2.5 三條 99
3.2.6 順子、同花和同花順 99
3.2.7 葫蘆和鐵支 100
3.2.8 撲克牌型練習:I 102
3.2.9 撲克牌型練習:II 103
3.3 單人紙牌 105
3.3.1 克朗代克紙牌 105
3.3.2 Aces Up紙牌 108
3.3.3 《空當接龍》 110
3.4 橋牌 112
3.4.1 井字遊戲 113
3.4.2 橋牌牌局的個數 115
3.4.3 將牌的分配 121
3.5 附錄:計算概率的代碼 125
3.5.1 將牌的分配和代碼 125
3.5.2 撲克牌型的代碼 127
3.6 總結 130
3.7 習題 130
第4章 條件概率、獨立性和貝葉斯定理 134
4.1 條件概率 135
4.1.1 猜測條件概率公式 137
4.1.2 期望計數法 138
4.1.3 文氏圖法 140
4.1.4 蒙提霍爾問題 141
4.2 一般乘法法則 142
4.2.1 陳述. 142
4.2.2 撲克牌的例子 143
4.2.3 帽子問題和糾錯碼 144
4.2.4 高等註解:條件概率的定義 145
4.3 獨立性 146
4.4 貝葉斯定理 148
4.5 劃分和全概率法則 154
4.6 回顧貝葉斯定理 157
4.7 總結 158
4.8 習題 158
第5章 計數II:容斥原理 162
5.1 階乘和二項式問題 163
5.1.1 “有多少個”與“概率是什麼” 163
5.1.2 選組 165
5.1.3 循環次序 166
5.1.4 選擇套裝 168
5.2 容斥方法 170
5.2.1 容斥原理的特例 170
5.2.2 容斥原理的陳述 173
5.2.3 容斥公式的證明 175
5.2.4 利用容斥原理:同花色牌型 177
5.2.5 從“到少”到“恰好”的方法 180
5.3 錯排 182
5.3.1 錯排的個數 183
5.3.2 錯排數的概率 184
5.3.3 錯排試驗的代碼 185
5.3.4 錯排的應用 187
5.4 總結 188
5.5 習題 190
第6章 計數III:高等組合學 193
6.1 基本計數 194
6.1.1 枚舉法I 194
6.1.2 枚舉法II 195
6.1.3 有放回抽樣和無放回抽樣 199
6.2 單詞排序 207
6.2.1 排序方法數 208
6.2.2 多項式係數 210
6.3 劃分 213
6.3.1 餅乾問題 213
6.3.2 彩票 216
6.3.3 其他劃分 220
6.4 總結 223
6.5 習題 223
*二部分 介紹隨機變量
第7章 離散型隨機變量 228
7.1 離散型隨機變量:定義 228
7.2 離散型隨機變量:概率密度函數 230
7.3 離散型隨機變量:累積分佈函數 233
7.4 總結 241
7.5 習題 243
第8章 連續型隨機變量 246
8.1 微積分基本定理 247
8.2 概率密度函數和累積分佈函數:定義 259
8.3 概率密度函數和累積分佈函數:例子 251
8.4 單元素事件的概率 256
8.5 總結 258
8.6 習題 259
第9章 工具:期望 262
9.1 微積分預備知識 263
9.2 期望值和矩 265
9.3 均值和方差 268
9.4 聯合分佈 273
9.5 期望的線性性質 277
9.6 均值和方差的性質 282
9.7 偏斜度與峰度 287
9.8 協方差 287
9.9 總結 288
9.10 習題. 289
第 10章 工具:卷積和變量替換 292
10.1 卷積:定義和性質 293
10.2 卷積:擲骰子的例子 296
10.2.1 理論計算 296
10.2.2 卷積碼 297
10.3 多變量的捲積 298
10.4 變量替換公式:敘述 301
10.5 變量替換公式:證明 305
10.6 附錄:隨機變量的乘積與商 309
10.6.1 乘積的概率密度函數 310
10.6.2 商的概率密度函數 311
10.6.3 例子:指數分佈的商 311
10.7 總結 313
10.8 習題 313
第 11章 工具:微分恆等式 317
11.1 幾何級數的例子 318
11.2 微分恆等式法 321
11.3 在二項分佈隨機變量上的應用 322
11.4 在正態分佈隨機變量上的應用 326
11.5 在指數分佈隨機變量上的應用 328
11.6 總結 330
11.7 習題 331
第三部分 特殊分佈
第 12章 離散分佈 334
12.1 伯努利分佈 334
12.2 二項分佈 335
12.3 多項分佈 339
12.4 幾何分佈 341
12.5 負二項分佈 343
12.6 泊松分佈 347
12.7 離散均勻分佈 350
12.8 習題 353
第 13章 連續型隨機變量:均勻分佈與指數分佈 357
13.1 均勻分佈 357
13.1.1 均值和方差 358
13.1.2 服從均勻分佈的隨機變量之和 359
13.1.3 例子 362
13.1.4 均勻地生成隨機數 364
13.2 指數分佈 365
13.2.1 均值和方差 366
13.2.2 服從指數分佈的隨機變量之和 369
13.2.3 服從指數分佈的隨機變量的例子與應用 372
13.2.4 從指數分佈中生成隨機數 373
13.3 習題 376
第 14章 連續型隨機變量:正態分佈 379
14.1 確定標準化常數 380
14.2 均值和方差 383
14.3 服從正態分佈的隨機變量之和 386
14.3.1 情形1:μX = μY = 0且σX^2 = σY^ 2 = 1 388
14.3.2 情形2:一般化的μX、μY 和σX^2、σY^2 390
14.3.3 兩個服從正態分佈的隨機變量之和:更快的代數運算 393
14.4 從正態分佈中生成隨機數 394
14.5 例子與中心極限定理 400
14.6 習題 401
第 15章 伽馬函數與相關分佈 405
15.1 Γ(s) 的存在性 405
15.2 Γ(s) 的函數方程 407
15.3 階乘函數與Γ(s) 411
15.4 Γ(s) 的特殊值 412
15.5 貝塔函數與伽馬函數 414
15.5.1 基本關係式的證明 415
15.5.2 基本關係式和Γ(1=2) 417
15.6 正態分佈與伽馬函數 418
15.7 隨機變量族 419
15.8 附錄:餘割等式的證明 421
15.8.1 餘割等式:第 一種證明 421
15.8.2 餘割等式:*二種證明 425
15.8.3 餘割等式:s = 1=2的特殊情形 427
15.9 柯西分佈 429
15.10 習題 431
第 16章 卡方分佈 433
16.1 卡方分佈的起源 434
16.2 X ~x^2(1) 的均值與方差 436
16.3 卡方分佈與服從正態分佈的隨機變量之和 437
16.3.1 直接積分求平方和 439
16.3.2 利用變量替換定理求平方和 440
16.3.3 卷積法求平方和 444
16.3.4 服從卡方分佈的隨機變量之和 446
16.4 總結 447
16.5 習題 449
第四部分 極限定理
第 17章 不等式和大數定律 452
17.1 不等式 452
17.2 馬爾可夫不等式 454
17.3 切比雪夫不等式 456
17.3.1 陳述 456
17.3.2 證明 458
17.3.3 正態分佈與均勻分佈的例子 460
17.3.4 指數分佈的例子 462
17.4 布爾不等式與邦弗倫尼不等式 462
17.5 收斂類型 464
17.5.1 依分佈收斂 464
17.5.2 依概率收斂 466
17.5.3 幾乎必然收斂與必然收斂 467
17.6 弱大數定律與強大數定律 467
17.7 習題 469
第 18章 斯特林公式 472
18.1 斯特林公式與概率 474
18.2 斯特林公式與級數的收斂性 476
18.3 從斯特林公式到中心極限定理 477
18.4 積分判別法與較弱的斯特林公式 481
18.5 得到斯特林公式的基本方法 484
18.5.1 二進分解 484
18.5.2 斯特林公式的下界:I 486
18.5.3 斯特林公式的下界:II 488
18.5.4 斯特林公式的下界:III 490
18.6 靜態相位與斯特林公式 491
18.7 中心極限定理與斯特林公式 492
18.8 習題 494
第 19章 生成函數與卷積 496
19.1 動機 496
19.2 定義 498
19.3 生成函數的唯*性和收斂性 503
19.4 卷積I:離散型隨機變量 504
19.5 卷積II:連續型隨機變量 508
19.6 矩母函數的定義與性質 514
19.7 矩母函數的應用 521
19.8 習題 525
第 20章 中心極限定理的證明 527
20.1 證明的關鍵思路 537
20.2 中心極限定理的陳述 529
20.3 均值、方差與標準差 531
20.4 標準化 532
20.5 矩母函數的相關結果 536
20.6 特殊情形:服從泊松分佈的隨機變量之和 538
20.7 利用MGF證明一般的CLT 541
20.8 使用中心極限定理 543
20.9 中心極限定理與蒙特卡羅積分 544
20.10 總結 546
20.11 習題 547
第 21章 傅里葉分析與中心極限定理 552
21.1 積分變換 553
21.2 卷積與概率論 557
21.3 中心極限定理的證明 560
21.4 總結 563
21.5 習題 564
第五部分 其他主題
第 22章 假設檢驗 568
22.1 Z檢驗 569
22.1.1 原假設與備擇假設 569
22.1.2 顯著性水平 570
22.1.3 檢驗統計量 572
22.1.4 單側檢驗與雙側檢驗 575
22.2 p值 578
22.2.1 非凡的主張與p值 578
22.2.2 大的p值 579
22.2.3 關於p值的誤解 579
22.3 t檢驗 581
22.3.1 估算樣本方差 581
22.3.2 從z檢驗到t檢驗 582
22.4 假設檢驗的問題 585
22.4.1 I型錯誤 585
22.4.2 II型錯誤 585
22.4.3 錯誤率與司法系統 586
22.4.4 功效 587
22.4.5 效應量 588
22.5 卡方分佈、擬合優度 588
22.5.1 卡方分佈與方差檢驗 589
22.5.2 卡方分佈與t分佈 592
22.5.3 列表數據的擬合優度 593
22.6 雙樣本檢驗 595
22.6.1 雙樣本z檢驗:方差已知 595
22.6.2 雙樣本t檢驗:方差未知但相等 598
22.6.3 方差未知且不相等 599
22.7 總結 601
22.8 習題 602
第 23章 差分方程、馬爾可夫過程和概率論 604
23.1 從斐波那契數到輪盤賭 604
23.1.1 翻倍加一策略 604
23.1.2 對斐波那契數的快速回顧 606
23.1.3 遞推關係與概率 608
23.1.4 討論與推廣 609
23.1.5 輪盤賭問題的代碼 610
23.2 遞推關係的一般理論 612
23.2.1 表示法 612
23.2.2 特徵方程 612
23.2.3 初始條件 614
23.2.4 關於不同根意味著可逆性的證明 616
23.3 馬爾可夫過程 617
23.3.1 遞推關係與種群動力學 617
23.3.2 一般的馬爾可夫過程 619
23.4 總結 620
23.5 習題 620
第 24章 *小二乘法 622
24.1 問題的描述 622
24.2 概率論與統計學回顧 623
24.3 *小二乘法 625
24.4 習題 629
第 25章 兩個**名問題與一些代碼 632
25.1 婚姻/秘書問題 632
25.1.1 假設與策略 632
25.1.2 成功的概率 633
25.1.3 秘書問題的代碼 637
25.2 蒙提霍爾問題 639
25.2.1 一個簡單的解決方案 639
25.2.2 一種**端情形 640
25.2.3 蒙提霍爾問題的代碼 641
25.3 兩個隨機程序 642
25.3.1 有放回取樣與無放回取樣 642
25.3.2 期望 643
25.4 習題 644
附錄A 證明技巧(圖靈社區下載)
附錄B 分析學結果(圖靈社區下載)
附錄C 可數集與不可數集(圖靈社區下載)
附錄D 複分析與中心極限定理(圖靈社區下載)
普林斯頓數學分析讀本
作 者:[美]拉菲·格林貝格(Raffi Grinberg) 著 李馨 譯
出 版 社:人民郵電出版社
出版日期:2020年08月01日
頁 數:207
裝 幀:平裝
ISBN:9787115543844
內容介紹
本書是《普林斯頓數學分析讀本》系列圖書的第二本,該套書的論述風格友好、平易近人,通過作者與讀者之間的互動對話和相關示例非常清晰地闡明了數學概念,提供了命題和定量邏輯方面的知識,可以使讀者精通自己的數學思路。本書講解了學習實分析的基礎內容,包括基本的數學與邏輯、實數、集合、拓撲、序列等.作者以通俗易懂且略帶幽默的口吻講述了兩步式求解方法:首先展示如何回溯到求解問題的關鍵,之後說明如何嚴謹規範地寫下解題過程。書中還給出了豐富的示例,幫助學生鞏固所學知識。
編輯
慢慢讀,慢慢寫,仔細思考!反复閱讀定義和證明,方能理解更寬泛的概念並將其應用到自己的證明中。數學分析是大學數學專業的*門課程,它為學生進一步學習基於證明的數學奠定了堅實的基礎,其所涉及的數學思想和解決問題的方法將對學生數學思維能力的培養和訓練產生巨大影響。本書延續《普林斯頓微積分讀本》之風格,編排清晰,敘述深入淺出。作者以通俗易懂且略帶幽默的口吻講述了兩步式求解方法:首先展示如何回溯到求解問題的關鍵,之後說明如何嚴謹規範地寫下解題過程;同時,書中提供了40多個經實踐驗證的示例,以及20多個指導性的“填空”練習,教導學生如何做,並以此鞏固所學概念。
媒體評論
“這本精心編寫的書為讀者上了一堂精彩的數學分析課程,不僅有細緻的定義,還有學習相關知識的所有概念……整本書的風格十分友好,易於閱讀,而且清晰反映出作者對這一主題充滿熱情。” ——《選擇》雜誌 “我能夠想像到,對於那些發現通過傳統教科書學習數學分析比較難的學生來說,這本書是多麼地有用。” ——Dominic Yeo,《數學公報》 “這本書是每個學習數學分析的學生都應該擁有的資源。格林貝格就像一位教授在給學生上課:沒有艱深的術語,充滿幽默,資料豐富且具權威性。” ——Osc
目錄
第 一部分預備知識 1
第 1 章引言 2
第 2 章基礎數學與邏輯 6
第3 章集合論 15
第二部分實數 27
第4 章上確界 28
第5 章實數域 37
第6 章複數與歐幾里得空間 50
第三部分拓撲學 63
第7 章雙射 64
第8 章可數性 72
第9 章拓撲定義 85
第 10 章閉集和開集 98
第 11 章緊集 107
第 12 章海涅?C博雷爾定理 118
第 13 章完備集與連通集 128
第四部分序列 139
第 14 章收斂 140
第 15 章極限與子序列 149
第 16 章柯西序列與單調
序列 159
第 17 章子序列極限 169
第 18 章特殊序列 179
第 19 章級數 187
第 20 章總結 197
致謝 200
參考文獻 201
索引 203
普林斯頓數學指南(套裝全3冊)
Fields 獎得主T. Gowers 主編、133 位數學家共同參與撰寫的學科巨著
作者:(英)Timothy Gowers主編;齊民友譯
出版社:科學出版社
出版時間:2016年1月
版 次:1
頁 數:1736
開 本:16
紙 張:膠版紙
印 次:4
包 裝:平裝
編輯推薦
《數學名著譯叢:普林斯頓數學指南(第1卷)》適合於高等院校本科生、研究生、教師和研究人員學習和參考。雖然主要是為了數學專業的師生寫的,但是,具有大學數學基礎知識,更重要的是對數學有興趣的讀者,都可以從《數學名著譯叢:普林斯頓數學指南(第1卷)》得到很大的收穫。
《數學名著譯叢:普林斯頓數學指南(第2卷)》內容生動鮮活,論文和條目都可以獨立閱讀,對於數學專業的師生以及對數學感興趣的讀者都不失為一本必不可少的經典讀物。
《數學名著譯叢:普林斯頓數學指南(第3卷)》是由Fields獎得主T。 Gowers主編、133位著名數學家共同參與撰寫的學科巨著,極具專業性,對20世紀最後一二十年純粹數學的發展給出一個概覽,總結過去指引未來,以幫助青年數學家學習和研究其最活躍的部分,本書內容生動鮮活,論文和條目都可以獨立閱讀,對於數學專業的師生以及對數學感興趣的讀者都不失為一本必不可少的經典讀物。
內容簡介
《普林斯頓數學指南》(限量版)(套裝共3冊)是一套為了滿足廣大數學愛好者而單獨推出的限量版,冊數有限,售完即止,快快搶購。
中譯本分為三卷,一卷包括第I-Ⅲ部分,第二卷即第Ⅳ部分,第三卷包括第V~Ⅷ部分。
《數學名著譯叢:普林斯頓數學指南(第1卷)》是由Fields獎得主T。 Gowers主編、133位著名數學家共同參與撰寫的大型文集,全書由288篇長篇論文和短篇條目構成,目的是對20世紀最後一二十年純粹數學的發展給出一個概覽,以幫助青年數學家學習和研究其最活躍的部分,這些論文和條目都可以獨立閱讀,原書有八個部分,除第1部分是一個簡短的引論、第Ⅷ部分是全書的“終曲”以外,全書分為三大板塊,核心是第Ⅳ部分“數學的各個分支”,共26篇長文,介紹了20世紀最後一二十年純粹數學研究中最重要的成果和最活躍的領域,第Ⅲ部分“數學概念”和第V部分“定理與問題”都是為它服務的短條目,第二個板塊是數學的歷史,由第Ⅱ部分“現代數學的起源”(共7篇長文)和第Ⅵ部分“數學家傳記”(96位數學家的短篇傳記)組成,第三個板塊是數學的應用,即第Ⅶ部分“數學的影響”(14篇長文章)。作為全書“終曲”的第Ⅷ部分“結束語:一些看法”則是對青年數學家的建議等7篇文章。
《數學名著譯叢:普林斯頓數學指南(第2卷)》是由Fields獎得主T。 Gowers主編、133位著名數學家共同參與撰寫的大型文集。全書由288篇長篇論文和短篇條目構成,目的是對20世紀最後一二十年純粹數學的發展給出一個概覽,以幫助青年數學家學習和研究其最活躍的部分,這些論文和條目都可以獨立閱讀。原書有八個部分,除第1部分是一個簡短的引論、第Ⅷ部分是全書的“終曲”以外,全書分為三大板塊,核心是第Ⅳ部分“數學的各個分支”,共26篇長文,介紹了20世紀最後一二十年純粹數學研究中最重要的成果和最活躍的領域,第Ⅲ部分“數學概念”和第V部分“定理與問題”都是為它服務的短條目,第二個板塊是數學的歷史,由第Ⅱ部分“現代數學的起源”f共7篇長文)和第Ⅵ部分“數學家傳記”(96位數學家的短篇傳記)組成,第三個板塊是數學的應用,即第Ⅶ部分“數學的影響”(14篇長文章)。作為全書“終曲”的第Ⅷ部分“結束語:一些看法”則是對青年數學家的建議等7篇文章。
《數學名著譯叢:普林斯頓數學指南(第3卷)》是由Fields獎得主T。 Gowers主編、133位著名數學家共同參與撰寫的學科巨著,極具專業性,對20世紀最後一二十年純粹數學的發展給出一個概覽,總結過去指引未來,以幫助青年數學家學習和研究其最活躍的部分,本書內容生動鮮活,論文和條目都可以獨立閱讀,對於數學專業的師生以及對數學感興趣的讀者都不失為一本必不可少的經典讀物。
目錄
第一卷:
譯者序
序
撰稿人
第1部分 引論
第2部分 現代數學的起源
第3部分 數學概念
第二卷:
譯者序
序
撰稿人
第Ⅳ部分數學的各個分支
第三卷:
譯者序
序
撰稿人
第Ⅴ部分 定理與問題
第Ⅵ部分 數學家傳記
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