普林斯頓微積分讀本

作  者:(美)阿德里安 班納 著 楊爽//趙曉婷//高璞 譯

出 版 社:人民郵電出版社

出版日期:2016年10月01日

頁  數:648

裝  幀:平裝

ISBN:9787115435590

作者簡介

阿德里安·班納（Adrian Banner） 澳大利亞新南威爾士大學數學學士及碩士，普里斯頓大學數學博士。 2002年起任職於INTECH公司，現為INTECH公司首席執行官兼首席投資官。同時，他在普林斯頓大學教學數學系任兼職教師。

內容提要

阿德里安·班納著的《普林斯頓微積分讀本》闡述了求解微積分的技巧，詳細講解了微積分基礎、極限、連續、微分、導數的應用、積分、無窮級數、泰勒級數與冪級數等內容，旨在教會讀者如何思考問題從而找到解題所需的知識點，著重訓練大家自己解答問題的能力。

     本書適用於大學低年級學生、高中高年級學生、想學習微積分的數學愛好者以及廣大數學教師，既可作為教材、習題集，也可作為學習指南，同時還有利於教師備課。

內容提要

阿德里安·班納著的《普林斯頓微積分讀本》闡述了求解微積分的技巧，詳細講解了微積分基礎、極限、連續、微分、導數的應用、積分、無窮級數、泰勒級數與冪級數等內容，旨在教會讀者如何思考問題從而找到解題所需的知識點，著重訓練大家自己解答問題的能力。

     本書適用於大學低年級學生、高中高年級學生、想學習微積分的數學愛好者以及廣大數學教師，既可作為教材、習題集，也可作為學習指南，同時還有利於教師備課。

編輯

對於大多數學生來說,微積分或許是他們曾經上過的倍感迷茫且*受挫折的一門課程了. 而本書,不僅讓學生們能有效地學習微積分,更重要的是提供了戰勝微積分的工具. 

這本經典著作源於風靡美國普林斯頓大學的阿德里安·班納教授的微積分複習課程，將易用性與可讀性以及內容的深度與數學的嚴謹完美地結合在了一起，激勵學生不再懼怕微積分，並在考試中獲得高分。

作者阿德里安·班納是美國普林斯頓大學的數學教授，並擔任新技術研究中心主任. Adrian Banner教授的授課風格是非正式的、有吸引力並完全不強求的,甚至在不失其詳盡性的基礎上又增添了許多娛樂性,而且他不會跳過討論一個問題的任何步驟. 

作者獨創的“內心獨白”方式——即問題求解過程中學生們應遵循的思考過程——為我們提供了不可或缺的推理過程以及求解方案.本書的重點在於創建問題求解的技巧.其中涉及的例題從簡單到復雜並對微積分理論進行了深入探討.讀者會在非正式的對話語境中體會微積分的無窮魅力.

目錄

第1章 函數、圖像和直線1

1.1函數1

1.1.1區間表示法3

1.1.2求定義域3

1.1.3利用圖像求值域4

1.1.4垂線檢驗5

1.2反函數6

1.2.1水平線檢驗7

1.2.2求反函數8

1.2.3限制定義域8

1.2.4反函數的反函數9

1.3函數的複合10

1.4奇函數和偶函數12

1.5線性函數的圖像14

1.6常見函數及其圖像16

第2章 三角學回顧21

2.1基本知識21

2.2擴展三角函數定義域23

2.2.1 ASTC方法25

2.2.2 [0; 2π]以外的三角函數27

2.3三角函數的圖像29

2.4三角恆等式32

第3章 極限導論34

3.1極限：基本思想34

3.2左極限與右極限36

3.3何時不存在極限37

3.4在∞和-∞處的極限38

3.5關於漸近線的兩個常見誤解41

3.6三明治定理43

3.7極限的基本類型小結45

第4章 求解多項式的極限問題47

4.1 x→a時的有理函數的極限47

4.2 x→a時的平方根的極限50

4.3 x→∞時的有理函數的極限51

4.4 x→∞時的多項式型函數的極限56

4.5 x→-∞時的有理函數的極限59

4.6包含絕對值的函數的極限61

第5章 連續性和可導性63

5.1連續性63

5.1.1在一點處連續63

5.1.2在一個區間上連續64

5.1.3連續函數的一些例子65

5.1.4介值定理67

5.1.5一個更難的介值定理例子69

5.1.6連續函數的最大值和最小值70

5.2可導性71

5.2.1平均速率72

5.2.2位移和速度72

5.2.3瞬時速度73

5.2.4速度的圖像闡釋74

5.2.5切線75

5.2.6導函數77

5.2.7作為極限比的導數78

5.2.8線性函數的導數80

5.2.9二階導數和更高階導數80

5.2.10何時導數不存在81

5.2.11可導性和連續性82

第6章 求解微分問題84

6.1使用定義求導84

6.2用更好的辦法求導87

6.2.1函數的常數倍88

6.2.2函數和與函數差88

6.2.3通過乘積法則求積函數的導數88

6.2.4通過商法則求商函數的導數90

6.2.5通過鍊式求導法則求復合函數的導數91

6.2.6那個難以處理的例子94

6.2.7乘積法則和鍊式求導法則的理由96

6.3求切線方程98

6.4速度和加速度99

6.5導數偽裝的極限101

6.6分段函數的導數103

6.7直接畫出導函數的圖像106

第7章 三角函數的極限和導數111

7.1三角函數的極限111

7.1.1小數的情況111

7.1.2問題的求解——小數的情況113

7.1.3大數的情況117

7.1.4“其他的”情況120

7.1.5一個重要極限的證明121

7.2三角函數的導數124

7.2.1求三角函數導數的例子127

7.2.2簡諧運動128

7.2.3一個有趣的函數129

第8章 隱函數求導和相關變化率132

8.1隱函數求導132

8.1.1技巧和例子133

8.1.2隱函數求二階導137

8.2相關變化率138

8.2.1一個簡單的例子139

8.2.2一個稍難的例子141

8.2.3一個更難的例子142

8.2.4一個非常難的例子144

第9章 指數函數和對數函數148

9.1基礎知識148

9.1.1指數函數的回顧148

9.1.2對數函數的回顧149

9.1.3對數函數、指數函數及反函數150

9.1.4對數法則151

9.2 e的定義153

9.2.1一個有關複利的問題153

9.2.2問題的答案154

9.2.3更多關於e和對數函數的內容156

9.3對數函數和指數函數求導158

9.4求解指數函數或對數函數的極限161

9.4.1涉及e的定義的極限161

9.4.2指數函數在0附近的行為162

9.4.3對數函數在1附近的行為164

9.4.4指數函數在∞或-∞附近的行為164

9.4.5對數函數在∞附近的行為167

9.4.6對數函數在0附近的行為168

9.5取對數求導法169

9.6指數增長和指數衰變173

9.6.1指數增長174

9.6.2指數衰變176

9.7雙曲函數178

第10章 反函數和反三角函數181

10.1導數和反函數181

10.1.1使用導數證明反函數存在181

10.1.2導數和反函數：可能出現的問題182

10.1.3求反函數的導數183

10.1.4一個綜合性例子185

10.2反三角函數187

10.2.1反正弦函數187

10.2.2反餘弦函數190

10.2.3反正切函數192

10.2.4反正割函數194

10.2.5反餘割函數和反餘切函數195

10.2.6計算反三角函數196

10.3反雙曲函數199

第11章 導數和圖像202

11.1函數的極值202

11.1.1全局極值和局部極值202

11.1.2極值定理203

11.1.3求全局最大值和最小值204

11.2羅爾定理206

11.3中值定理209

11.4二階導數和圖像212

11.5對導數為零點的分類215

11.5.1使用一次導數215

11.5.2使用二階導數217

第12章 繪製函數圖像219

12.1建立符號表格219

12.1.1建立一階導數的符號表格221

12.1.2建立二階導數的符號表格222

12.2繪製函數圖像的全面方法224

12.3例題225

12.3.1一個不使用導數的例子225

12.3.2完整的方法：例一227

12.3.3完整的方法：例二229

12.3.4完整的方法：例三231

12.3.5完整的方法：例四234

第13章 最優化和線性化239

13.1最優化239

13.1.1一個簡單的最優化例子239

13.1.2最優化問題：一般方法240

13.1.3一個最優化的例子241

13.1.4另一個最優化的例子242

13.1.5在最優化問題中使用隱函數求導246

13.1.6一個較難的最優化例子246

13.2線性化249

13.2.1線性化問題：一般方法251

13.2.2微分252

13.2.3線性化的總結和例子254

13.2.4近似中的誤差256

13.3牛頓法258

第14章 洛必達法則及極限問題總結263

14.1洛必達法則263

14.1.1類型A：0/0263

14.1.2類型A：±∞/±∞266

14.1.3類型B1: (∞－∞)267

14.1.4類型B2: (0×±∞)269

14.1.5類型C:??(1±∞, 0o或∞o)270

14.1.6洛必達法則類型的總結272

14.2關於極限的總結273

第15章 積分276

15.1求和符號276

15.1.1一個有用的求和279

15.1.2伸縮求和法280

15.2位移和麵積283

15.2.1三個簡單的例子283

15.2.2一段更常規的旅行285

15.2.3有向面積287

15.2.4連續的速度288

15.2.5兩個特別的估算291

第16章 定積分293

16.1基本思想293

16.2定積分的定義297

16.3定積分的性質301

16.4求面積305

16.4.1求通常的面積306

16.4.2求解兩條曲線之間的面積308

16.4.3求曲線與y軸所圍成的面積310

16.5估算積分313

16.6積分的平均值和中值定理316

16.7不可積的函數319

第17章 微積分基本定理321

17.1用其他函數的積分來表示的函數321

17.2微積分的第一基本定理324

17.3微積分的第二基本定理328

17.4不定積分329

17.5怎樣解決問題：微積分的第一基本定理331

17.5.1變形1：變量是積分下限332

17.5.2變形2：積分上限是一個函數332

17.5.3變形3：積分上下限都為函數334

17.5.4變形4：極限偽裝成導數335

17.6怎樣解決問題：微積分的第二基本定理336

17.6.1計算不定積分336

17.6.2計算定積分339

17.6.3面積和絕對值341

17.7技術要點344

17.8微積分第一基本定理的證明345

第18章 積分的方法I347

18.1換元法347

18.1.1換元法和定積分350

18.1.2如何換元353

18.1.3換元法的理論解釋355

18.2分部積分法356

18.3部分分式361

18.3.1部分分式的代數運算361

18.3.2對每一部分積分365

18.3.3方法和一個完整的例子367

第19章 積分的方法II373

19.1應用三角恆等式的積分373

19.2關於三角函數的冪的積分376

19.2.1 sin或cos的冪376

19.2.2 tan的冪378

19.2.3 sec的冪379

19.2.4 cot的冪381

19.2.5 csc的冪382

19.2.6約化公式382

19.3關於三角換元法的積分384

19.3.1類型1：384

19.3.2類型2：386

19.3.3類型3：387

19.3.4配方和三角換元法388

19.3.5關於三角換元法的總結389

19.3.6平方根的方法和三角換元法389

19.4積分技巧總結391

第20章 反常積分：基本概念393

20.1收斂和發散393

20.1.1反常積分的一些例子395

20.1.2其他破裂點397

20.2關於無窮區間上的積分398

20.3比較判別法(理論)400

20.4極限比較判別法(理論)402

20.4.1函數互為漸近線402

20.4.2關於判別法的陳述404

20.5 p判別法(理論)405

20.6絕對收斂判別法407

第21章 反常積分：如何解題410

21.1如何開始410

21.1.1拆分積分410

21.1.2如何處理負函數值411

21.2積分判別法總結413

21.3常見函數在∞和－∞附近的表現414

21.3.1多項式和多項式型函數在1和?1附近的表現415

21.3.2三角函數在∞和－∞附近的表現417

21.3.3指數在∞和－∞附近的表現419

21.3.4對數在∞附近的表現422

21.4常見函數在0附近的表現426

21.4.1多項式和多項式型函數在0附近的表現426

21.4.2三角函數在0附近的表現427

21.4.3指數函數在0附近的表現429

21.4.4對數函數在0附近的表現430

21.4.5更一般的函數在0附近的表現431

21.5如何應對不在0或∞處的瑕點432

第22章 數列和級數：基本概念434

22.1數列的收斂和發散434

22.1.1數列和函數的聯繫435

22.1.2兩個重要數列436

22.2級數的收斂與發散438

22.3第n項判別法(理論)442

22.4無窮級數和反常積分的性質443

22.4.1比較判別法(理論)443

22.4.2極限比較判別法(理論)444

22.4.3ρ判別法(理論)444

22.4.4絕對收斂判別法445

22.5級數的新判別法447

22.5.1比式判別法(理論)447

22.5.2根式判別法(理論)449

22.5.3積分判別法(理論)450

22.5.4交錯級數判別法(理論)453

第23章 求解級數問題455

23.1求幾何級數的值455

23.2應用第n項判別法457

23.3應用比式判別法457

23.4應用根式判別法461

23.5應用積分判別法462

23.6應用比較判別法、極限比較判別法和p判別法463

23.7應對含負項的級數468

第24章 泰勒多項式、泰勒級數和冪級數導論472

24.1近似值和泰勒多項式472

24.1.1重訪線性化472

24.1.2二次近似473

24.1.3高階近似474

24.1.4泰勒定理475

24.2冪級數和泰勒級數478

24.2.1一般冪級數479

24.2.2泰勒級數和麥克勞林級數481

24.2.3泰勒級數的收斂性481

24.3一個有用的極限485

第25章 求解估算問題487

25.1泰勒多項式與泰勒級數總結487

25.2求泰勒多項式與泰勒級數488

25.3用誤差項估算問題491

25.3.1第一個例子492

25.3.2第二個例子494

25.3.3第三個例子495

25.3.4第四個例子496

25.3.5第五個例子497

25.3.6誤差項估算的一般方法499

25.4誤差估算的另一種方法499

第26章 泰勒級數和冪級數：如何解題502

26.1冪級數的收斂性502

26.1.1收斂半徑502

26.1.2求收斂半徑和收斂區域504

26.2合成新的泰勒級數508

26.2.1代換和泰勒級數509

26.2.2泰勒級數求導511

26.2.3泰勒級數求積分512

26.2.4泰勒級數相加和相減514

26.2.5泰勒級數相乘515

26.2.6泰勒級數相除516

26.3利用冪級數和泰勒級數求導517

26.4利用麥克勞林級數求極限519

第27章 參數方程和極坐標523

27.1參數方程523

27.2極坐標528

27.2.1極坐標與笛卡兒坐標互換529

27.2.2極坐標系中畫曲線530

27.2.3求極坐標曲線的切線534

27.2.4求極坐標曲線圍成的面積535

第28章 複數538

28.1基礎538

28.2復平面541

28.3複數的高次冪544

28.4解  w545

28.5解 ＝w550

28.6一些三角級數552

28.7歐拉恆等式和冪級數554

第29章 體積、弧長和表面積556

29.1旋轉體的體積556

29.1.1圓盤法557

29.1.2殼法558

29.1.3總結和變式560

29.1.4變式1：區域在曲線和y軸之間561

29.1.5變式2：兩曲線間的區域562

29.1.6變式3：繞平行於坐標軸的軸旋轉565

29.2一般立體體積567

29.3弧長571

29.4旋轉體的表面積574

第30章 微分方程578

30.1微分方程導論578

30.2可分離變量的一階微分方程579

30.3一階線性方程581

30.4常係數微分方程585

30.4.1解一階齊次方程586

30.4.2解二階齊次方程586

30.4.3為什麼特徵二次方程適用587

30.4.4非齊次方程和特解588

30.4.5求特解589

30.4.6求特解的例子590

30.4.7解決yP和yH間的衝突592

30.4.8 IVP593

30.5微分方程建模595

附錄A極限及其證明598

A.1極限的正式定義598

A.2由原極限產生新極限602

A.3極限的其他情形606

A.4連續與極限611

A.5再談指數函數和對數函數616

A.6微分與極限618

A.7泰勒近似定理的證明627

附錄B估算積分629

B.1使用條紋估算積分629

B.2梯形法則632

B.3辛普森法則634

B.4近似的誤差636

符號列表640

索引643

普林斯頓概率論讀本

作  者:(美)史蒂文·J.米勒 著 李馨 譯

出 版 社:人民郵電出版社

出版日期:2020年09月01日

頁  數:664

裝  幀:平裝

ISBN:9787115543776

內容介紹

本書講解概率論的基礎內容, 包括組合分析、概率論公理、條件概率、離散型隨機變量、 連續型隨機變量、隨機變量的聯合分佈、期望的性質、極限定理和模擬等, 內容豐富, 通俗易懂, 並配有豐富的例子和大量習題, 涉及物理學、生物學、化學、遺傳學、博弈論、經濟學等多方面的應用，**具啟發性。

目錄

第 一部分 一般性理論

第 1章 引言 2

1.1 生日問題 3

1.1.1 陳述問題 3

1.1.2 解決問題 6

1.1.3 對問題和答案的推廣：效率 11

1.1.4 數值檢驗 14

1.2 從投籃到幾何級數 16

1.2.1 問題和解答 16

1.2.2 相關問題 22

1.2.3 一般問題的解決技巧 25

1.3 賭博 28

1.3.1 2008年超級碗賭注 29

1.3.2 預期收益 29

1.3.3 對沖的價值 31

1.3.4 結論 32

1.4 總結 33

1.5 習題 35

第 2章 基本概率定律 41

2.1 悖論 42

2.2 集合論綜述 44

2.2.1 編程漫談 48

2.2.2 無窮大的大小和概率 50

2.2.3 開集和閉集 52

2.3 結果空間、事件和概率公理 54

2.4 概率公理 59

2.5 基本概率規則 61

2.5.1 全概率公式 62

2.5.2 併的概率 63

2.5.3 包含的概率 66

2.6 概率空間和σ代數 67

2.7 附錄：實驗性地找出規律 72

2.7.1 乘積求導法則 73

2.7.2 併的概率 74

2.8 總結 75

2.9 習題 75

第3章 計數I：紙牌 80

3.1 階乘和二項式係數 81

3.1.1 階乘函數 81

3.1.2 二項式係數 85

3.1.3 總結 90

3.2 撲克牌 90

3.2.1 規則 91

3.2.2 *小牌型 93

3.2.3 對子 95

3.2.4 兩對 98

3.2.5 三條 99

3.2.6 順子、同花和同花順 99

3.2.7 葫蘆和鐵支 100

3.2.8 撲克牌型練習：I 102

3.2.9 撲克牌型練習：II 103

3.3 單人紙牌 105

3.3.1 克朗代克紙牌 105

3.3.2 Aces Up紙牌 108

3.3.3 《空當接龍》 110

3.4 橋牌 112

3.4.1 井字遊戲 113

3.4.2 橋牌牌局的個數 115

3.4.3 將牌的分配 121

3.5 附錄：計算概率的代碼 125

3.5.1 將牌的分配和代碼 125

3.5.2 撲克牌型的代碼 127

3.6 總結 130

3.7 習題 130

第4章 條件概率、獨立性和貝葉斯定理 134

4.1 條件概率 135

4.1.1 猜測條件概率公式 137

4.1.2 期望計數法 138

4.1.3 文氏圖法 140

4.1.4 蒙提霍爾問題 141

4.2 一般乘法法則 142

4.2.1 陳述. 142

4.2.2 撲克牌的例子 143

4.2.3 帽子問題和糾錯碼 144

4.2.4 高等註解：條件概率的定義 145

4.3 獨立性 146

4.4 貝葉斯定理 148

4.5 劃分和全概率法則 154

4.6 回顧貝葉斯定理 157

4.7 總結 158

4.8 習題 158

第5章 計數II：容斥原理 162

5.1 階乘和二項式問題 163

5.1.1 “有多少個”與“概率是什麼” 163

5.1.2 選組 165

5.1.3 循環次序 166

5.1.4 選擇套裝 168

5.2 容斥方法 170

5.2.1 容斥原理的特例 170

5.2.2 容斥原理的陳述 173

5.2.3 容斥公式的證明 175

5.2.4 利用容斥原理：同花色牌型 177

5.2.5 從“到少”到“恰好”的方法 180

5.3 錯排 182

5.3.1 錯排的個數 183

5.3.2 錯排數的概率 184

5.3.3 錯排試驗的代碼 185

5.3.4 錯排的應用 187

5.4 總結 188

5.5 習題 190

第6章 計數III：高等組合學 193

6.1 基本計數 194

6.1.1 枚舉法I 194

6.1.2 枚舉法II 195

6.1.3 有放回抽樣和無放回抽樣 199

6.2 單詞排序 207

6.2.1 排序方法數 208

6.2.2 多項式係數 210

6.3 劃分 213

6.3.1 餅乾問題 213

6.3.2 彩票 216

6.3.3 其他劃分 220

6.4 總結 223

6.5 習題 223

*二部分 介紹隨機變量

第7章 離散型隨機變量 228

7.1 離散型隨機變量：定義 228

7.2 離散型隨機變量：概率密度函數 230

7.3 離散型隨機變量：累積分佈函數 233

7.4 總結 241

7.5 習題 243

第8章 連續型隨機變量 246

8.1 微積分基本定理 247

8.2 概率密度函數和累積分佈函數：定義 259

8.3 概率密度函數和累積分佈函數：例子 251

8.4 單元素事件的概率 256

8.5 總結 258

8.6 習題 259

第9章 工具：期望 262

9.1 微積分預備知識 263

9.2 期望值和矩 265

9.3 均值和方差 268

9.4 聯合分佈 273

9.5 期望的線性性質 277

9.6 均值和方差的性質 282

9.7 偏斜度與峰度 287

9.8 協方差 287

9.9 總結 288

9.10 習題. 289

第 10章 工具：卷積和變量替換 292

10.1 卷積：定義和性質 293

10.2 卷積：擲骰子的例子 296

10.2.1 理論計算 296

10.2.2 卷積碼 297

10.3 多變量的捲積 298

10.4 變量替換公式：敘述 301

10.5 變量替換公式：證明 305

10.6 附錄：隨機變量的乘積與商 309

10.6.1 乘積的概率密度函數 310

10.6.2 商的概率密度函數 311

10.6.3 例子：指數分佈的商 311

10.7 總結 313

10.8 習題 313

第 11章 工具：微分恆等式 317

11.1 幾何級數的例子 318

11.2 微分恆等式法 321

11.3 在二項分佈隨機變量上的應用 322

11.4 在正態分佈隨機變量上的應用 326

11.5 在指數分佈隨機變量上的應用 328

11.6 總結 330

11.7 習題 331

第三部分 特殊分佈

第 12章 離散分佈 334

12.1 伯努利分佈 334

12.2 二項分佈 335

12.3 多項分佈 339

12.4 幾何分佈 341

12.5 負二項分佈 343

12.6 泊松分佈 347

12.7 離散均勻分佈 350

12.8 習題 353

第 13章 連續型隨機變量：均勻分佈與指數分佈 357

13.1 均勻分佈 357

13.1.1 均值和方差 358

13.1.2 服從均勻分佈的隨機變量之和 359

13.1.3 例子 362

13.1.4 均勻地生成隨機數 364

13.2 指數分佈 365

13.2.1 均值和方差 366

13.2.2 服從指數分佈的隨機變量之和 369

13.2.3 服從指數分佈的隨機變量的例子與應用 372

13.2.4 從指數分佈中生成隨機數 373

13.3 習題 376

第 14章 連續型隨機變量：正態分佈 379

14.1 確定標準化常數 380

14.2 均值和方差 383

14.3 服從正態分佈的隨機變量之和 386

14.3.1 情形1：μX = μY = 0且σX^2 = σY^ 2 = 1 388

14.3.2 情形2：一般化的μX、μY 和σX^2、σY^2 390

14.3.3 兩個服從正態分佈的隨機變量之和：更快的代數運算 393

14.4 從正態分佈中生成隨機數 394

14.5 例子與中心極限定理 400

14.6 習題 401

第 15章 伽馬函數與相關分佈 405

15.1 Γ(s) 的存在性 405

15.2 Γ(s) 的函數方程 407

15.3 階乘函數與Γ(s) 411

15.4 Γ(s) 的特殊值 412

15.5 貝塔函數與伽馬函數 414

15.5.1 基本關係式的證明 415

15.5.2 基本關係式和Γ(1=2) 417

15.6 正態分佈與伽馬函數 418

15.7 隨機變量族 419

15.8 附錄：餘割等式的證明 421

15.8.1 餘割等式：第 一種證明 421

15.8.2 餘割等式：*二種證明 425

15.8.3 餘割等式：s = 1=2的特殊情形 427

15.9 柯西分佈 429

15.10 習題 431

第 16章 卡方分佈 433

16.1 卡方分佈的起源 434

16.2 X ~x^2(1) 的均值與方差 436

16.3 卡方分佈與服從正態分佈的隨機變量之和 437

16.3.1 直接積分求平方和 439

16.3.2 利用變量替換定理求平方和 440

16.3.3 卷積法求平方和 444

16.3.4 服從卡方分佈的隨機變量之和 446

16.4 總結 447

16.5 習題 449

第四部分 極限定理

第 17章 不等式和大數定律 452

17.1 不等式 452

17.2 馬爾可夫不等式 454

17.3 切比雪夫不等式 456

17.3.1 陳述 456

17.3.2 證明 458

17.3.3 正態分佈與均勻分佈的例子 460

17.3.4 指數分佈的例子 462

17.4 布爾不等式與邦弗倫尼不等式 462

17.5 收斂類型 464

17.5.1 依分佈收斂 464

17.5.2 依概率收斂 466

17.5.3 幾乎必然收斂與必然收斂 467

17.6 弱大數定律與強大數定律 467

17.7 習題 469

第 18章 斯特林公式 472

18.1 斯特林公式與概率 474

18.2 斯特林公式與級數的收斂性 476

18.3 從斯特林公式到中心極限定理 477

18.4 積分判別法與較弱的斯特林公式 481

18.5 得到斯特林公式的基本方法 484

18.5.1 二進分解 484

18.5.2 斯特林公式的下界：I 486

18.5.3 斯特林公式的下界：II 488

18.5.4 斯特林公式的下界：III 490

18.6 靜態相位與斯特林公式 491

18.7 中心極限定理與斯特林公式 492

18.8 習題 494

第 19章 生成函數與卷積 496

19.1 動機 496

19.2 定義 498

19.3 生成函數的唯*性和收斂性 503

19.4 卷積I：離散型隨機變量 504

19.5 卷積II：連續型隨機變量 508

19.6 矩母函數的定義與性質 514

19.7 矩母函數的應用 521

19.8 習題 525

第 20章 中心極限定理的證明 527

20.1 證明的關鍵思路 537

20.2 中心極限定理的陳述 529

20.3 均值、方差與標準差 531

20.4 標準化 532

20.5 矩母函數的相關結果 536

20.6 特殊情形：服從泊松分佈的隨機變量之和 538

20.7 利用MGF證明一般的CLT 541

20.8 使用中心極限定理 543

20.9 中心極限定理與蒙特卡羅積分 544

20.10 總結 546

20.11 習題 547

第 21章 傅里葉分析與中心極限定理 552

21.1 積分變換 553

21.2 卷積與概率論 557

21.3 中心極限定理的證明 560

21.4 總結 563

21.5 習題 564

第五部分 其他主題

第 22章 假設檢驗 568

22.1 Z檢驗 569

22.1.1 原假設與備擇假設 569

22.1.2 顯著性水平 570

22.1.3 檢驗統計量 572

22.1.4 單側檢驗與雙側檢驗 575

22.2 p值 578

22.2.1 非凡的主張與p值 578

22.2.2 大的p值 579

22.2.3 關於p值的誤解 579

22.3 t檢驗 581

22.3.1 估算樣本方差 581

22.3.2 從z檢驗到t檢驗 582

22.4 假設檢驗的問題 585

22.4.1 I型錯誤 585

22.4.2 II型錯誤 585

22.4.3 錯誤率與司法系統 586

22.4.4 功效 587

22.4.5 效應量 588

22.5 卡方分佈、擬合優度 588

22.5.1 卡方分佈與方差檢驗 589

22.5.2 卡方分佈與t分佈 592

22.5.3 列表數據的擬合優度 593

22.6 雙樣本檢驗 595

22.6.1 雙樣本z檢驗：方差已知 595

22.6.2 雙樣本t檢驗：方差未知但相等 598

22.6.3 方差未知且不相等 599

22.7 總結 601

22.8 習題 602

第 23章 差分方程、馬爾可夫過程和概率論 604

23.1 從斐波那契數到輪盤賭 604

23.1.1 翻倍加一策略 604

23.1.2 對斐波那契數的快速回顧 606

23.1.3 遞推關係與概率 608

23.1.4 討論與推廣 609

23.1.5 輪盤賭問題的代碼 610

23.2 遞推關係的一般理論 612

23.2.1 表示法 612

23.2.2 特徵方程 612

23.2.3 初始條件 614

23.2.4 關於不同根意味著可逆性的證明 616

23.3 馬爾可夫過程 617

23.3.1 遞推關係與種群動力學 617

23.3.2 一般的馬爾可夫過程 619

23.4 總結 620

23.5 習題 620

第 24章 *小二乘法 622

24.1 問題的描述 622

24.2 概率論與統計學回顧 623

24.3 *小二乘法 625

24.4 習題 629

第 25章 兩個**名問題與一些代碼 632

25.1 婚姻/秘書問題 632

25.1.1 假設與策略 632

25.1.2 成功的概率 633

25.1.3 秘書問題的代碼 637

25.2 蒙提霍爾問題 639

25.2.1 一個簡單的解決方案 639

25.2.2 一種**端情形 640

25.2.3 蒙提霍爾問題的代碼 641

25.3 兩個隨機程序 642

25.3.1 有放回取樣與無放回取樣 642

25.3.2 期望 643

25.4 習題 644

附錄A 證明技巧（圖靈社區下載）

附錄B 分析學結果（圖靈社區下載）

附錄C 可數集與不可數集（圖靈社區下載）

附錄D 複分析與中心極限定理（圖靈社區下載）

普林斯頓數學分析讀本

作  者:[美]拉菲·格林貝格（Raffi Grinberg） 著 李馨 譯

出 版 社:人民郵電出版社

出版日期:2020年08月01日

頁  數:207

裝  幀:平裝

ISBN:9787115543844

內容介紹

本書是《普林斯頓數學分析讀本》系列圖書的第二本，該套書的論述風格友好、平易近人，通過作者與讀者之間的互動對話和相關示例非常清晰地闡明了數學概念，提供了命題和定量邏輯方面的知識，可以使讀者精通自己的數學思路。本書講解了學習實分析的基礎內容，包括基本的數學與邏輯、實數、集合、拓撲、序列等．作者以通俗易懂且略帶幽默的口吻講述了兩步式求解方法：首先展示如何回溯到求解問題的關鍵，之後說明如何嚴謹規範地寫下解題過程。書中還給出了豐富的示例，幫助學生鞏固所學知識。

編輯

慢慢讀，慢慢寫，仔細思考！反复閱讀定義和證明，方能理解更寬泛的概念並將其應用到自己的證明中。數學分析是大學數學專業的*門課程，它為學生進一步學習基於證明的數學奠定了堅實的基礎，其所涉及的數學思想和解決問題的方法將對學生數學思維能力的培養和訓練產生巨大影響。本書延續《普林斯頓微積分讀本》之風格，編排清晰，敘述深入淺出。作者以通俗易懂且略帶幽默的口吻講述了兩步式求解方法：首先展示如何回溯到求解問題的關鍵，之後說明如何嚴謹規範地寫下解題過程；同時，書中提供了40多個經實踐驗證的示例，以及20多個指導性的“填空”練習，教導學生如何做，並以此鞏固所學概念。

媒體評論

“這本精心編寫的書為讀者上了一堂精彩的數學分析課程，不僅有細緻的定義，還有學習相關知識的所有概念……整本書的風格十分友好，易於閱讀，而且清晰反映出作者對這一主題充滿熱情。” ——《選擇》雜誌 “我能夠想像到，對於那些發現通過傳統教科書學習數學分析比較難的學生來說，這本書是多麼地有用。” ——Dominic Yeo，《數學公報》 “這本書是每個學習數學分析的學生都應該擁有的資源。格林貝格就像一位教授在給學生上課：沒有艱深的術語，充滿幽默，資料豐富且具權威性。” ——Osc

目錄

第 一部分預備知識 1

第 1 章引言 2

第 2 章基礎數學與邏輯 6

第3 章集合論 15

第二部分實數 27

第4 章上確界 28

第5 章實數域 37

第6 章複數與歐幾里得空間 50

第三部分拓撲學 63

第7 章雙射 64

第8 章可數性 72

第9 章拓撲定義 85

第 10 章閉集和開集 98

第 11 章緊集 107

第 12 章海涅?C博雷爾定理 118

第 13 章完備集與連通集 128

第四部分序列 139

第 14 章收斂 140

第 15 章極限與子序列 149

第 16 章柯西序列與單調

序列 159

第 17 章子序列極限 169

第 18 章特殊序列 179

第 19 章級數 187

第 20 章總結 197

致謝 200

參考文獻 201

索引 203

普林斯頓數學指南（套裝全3冊）

Fields 獎得主T. Gowers 主編、133 位數學家共同參與撰寫的學科巨著 

作者:(英)Timothy Gowers主編;齊民友譯 

出版社:科學出版社

 出版時間:2016年1月 

版 次：1

頁 數：1736

開 本：16

紙 張：膠版紙

印 次：4

包 裝：平裝

編輯推薦

　　《數學名著譯叢：普林斯頓數學指南（第1卷）》適合於高等院校本科生、研究生、教師和研究人員學習和參考。雖然主要是為了數學專業的師生寫的，但是，具有大學數學基礎知識，更重要的是對數學有興趣的讀者，都可以從《數學名著譯叢：普林斯頓數學指南（第1卷）》得到很大的收穫。

　　《數學名著譯叢：普林斯頓數學指南（第2卷）》內容生動鮮活，論文和條目都可以獨立閱讀，對於數學專業的師生以及對數學感興趣的讀者都不失為一本必不可少的經典讀物。

　　《數學名著譯叢：普林斯頓數學指南（第3卷）》是由Fields獎得主T。 Gowers主編、133位著名數學家共同參與撰寫的學科巨著，極具專業性，對20世紀最後一二十年純粹數學的發展給出一個概覽，總結過去指引未來，以幫助青年數學家學習和研究其最活躍的部分，本書內容生動鮮活，論文和條目都可以獨立閱讀，對於數學專業的師生以及對數學感興趣的讀者都不失為一本必不可少的經典讀物。

內容簡介

　　《普林斯頓數學指南》（限量版）（套裝共3冊）是一套為了滿足廣大數學愛好者而單獨推出的限量版，冊數有限，售完即止，快快搶購。

　　中譯本分為三卷，一卷包括第I-Ⅲ部分，第二卷即第Ⅳ部分，第三卷包括第V～Ⅷ部分。

　　《數學名著譯叢：普林斯頓數學指南（第1卷）》是由Fields獎得主T。 Gowers主編、133位著名數學家共同參與撰寫的大型文集，全書由288篇長篇論文和短篇條目構成，目的是對20世紀最後一二十年純粹數學的發展給出一個概覽，以幫助青年數學家學習和研究其最活躍的部分，這些論文和條目都可以獨立閱讀，原書有八個部分，除第1部分是一個簡短的引論、第Ⅷ部分是全書的“終曲”以外，全書分為三大板塊，核心是第Ⅳ部分“數學的各個分支”，共26篇長文，介紹了20世紀最後一二十年純粹數學研究中最重要的成果和最活躍的領域，第Ⅲ部分“數學概念”和第V部分“定理與問題”都是為它服務的短條目，第二個板塊是數學的歷史，由第Ⅱ部分“現代數學的起源”（共7篇長文）和第Ⅵ部分“數學家傳記”（96位數學家的短篇傳記）組成，第三個板塊是數學的應用，即第Ⅶ部分“數學的影響”（14篇長文章）。作為全書“終曲”的第Ⅷ部分“結束語：一些看法”則是對青年數學家的建議等7篇文章。

　　《數學名著譯叢：普林斯頓數學指南（第2卷）》是由Fields獎得主T。 Gowers主編、133位著名數學家共同參與撰寫的大型文集。全書由288篇長篇論文和短篇條目構成，目的是對20世紀最後一二十年純粹數學的發展給出一個概覽，以幫助青年數學家學習和研究其最活躍的部分，這些論文和條目都可以獨立閱讀。原書有八個部分，除第1部分是一個簡短的引論、第Ⅷ部分是全書的“終曲”以外，全書分為三大板塊，核心是第Ⅳ部分“數學的各個分支”，共26篇長文，介紹了20世紀最後一二十年純粹數學研究中最重要的成果和最活躍的領域，第Ⅲ部分“數學概念”和第V部分“定理與問題”都是為它服務的短條目，第二個板塊是數學的歷史，由第Ⅱ部分“現代數學的起源”f共7篇長文）和第Ⅵ部分“數學家傳記”（96位數學家的短篇傳記）組成，第三個板塊是數學的應用，即第Ⅶ部分“數學的影響”（14篇長文章）。作為全書“終曲”的第Ⅷ部分“結束語：一些看法”則是對青年數學家的建議等7篇文章。

　　《數學名著譯叢：普林斯頓數學指南（第3卷）》是由Fields獎得主T。 Gowers主編、133位著名數學家共同參與撰寫的學科巨著，極具專業性，對20世紀最後一二十年純粹數學的發展給出一個概覽，總結過去指引未來，以幫助青年數學家學習和研究其最活躍的部分，本書內容生動鮮活，論文和條目都可以獨立閱讀，對於數學專業的師生以及對數學感興趣的讀者都不失為一本必不可少的經典讀物。

目錄

第一卷：

譯者序

序

撰稿人

第1部分 引論

第2部分 現代數學的起源

第3部分 數學概念

第二卷：

譯者序

序

撰稿人

第Ⅳ部分數學的各個分支

第三卷：

譯者序

序

撰稿人

第Ⅴ部分 定理與問題

第Ⅵ部分 數學家傳記