物理學中的數學方法

系列名：現代物理基礎叢書

ISBN13：9787030367884

出版社：科學出版社

作者：王懷玉

出版日：2021/12/29

裝訂／頁數：平裝／610頁

規格：23.5cm*16.8cm (高/寬)

版次：一版

編輯推薦

《現代物理基礎叢書55:物理學中的數學方法》可作為大學物理系和理工科各專業的本科高年級學生和研究生的教材或參考書，也可供高校教師和科研人員參考。

內容介紹

《物理學中的數學方法》介紹了物理學科研工作所需的數學知識和相應的數學基礎，包括10章內容，分別是變分法、希爾伯特空間、二階線性常微分方程、貝塞爾函數、狄拉克δ函數、格林函數、範數、積分方程、數論在物理逆問題中的應用和任意維空間的基本方程。《物理學中的數學方法》內容與本科階段已經學過的數理方法銜接，並盡可能地反映最新的科研成果。《物理學中的數學方法》對概念的說明與公式的推導力求詳盡全面，內容敘述清楚，便於讀者學習.各章末尾大量的習題有助於讀者鞏固和擴展正文中學到的知識內容。

目錄

前言

第1章 變分法

1.1 泛函和泛函的極值問題

1.1.1 泛函的概念

1.1.2 泛函的極值問題

1.2 泛函的變分和最簡單情形的歐拉方程

1.2.1 泛函的變分

1.2.2 最簡單情形的歐拉方程

1.3 多個函數和多個自變量的情形

1.3.1 多個函數

1.3.2 多個自變量

1.4 泛函的條件極值問題

1.4.1 等周問題

1.4.2 測地線問題

1.5 自然邊界條件

1.6 變分原理

1.6.1 經典力學的變分原理

1.6.2 量子力學的變分原理

1.7 變分法在物理學中的應用

1.7.1 在經典物理中的應用

1.7.2 在量子力學中的應用

習題

附錄1A函數的極值問題

參考文獻

第2章 希爾伯特空間

2.1 線性空間、內積空間和希爾伯特空間

2.1.1 線性空間

2.1.2 內積空間

2.1.3 希爾伯特空間

2.2 內積空間中的算子

2.2.1 算子與伴隨算子

2.2.2 自伴算子

2.2.3 非齊次線性代數方程組有解的擇一定理

2.3 完備的正交歸一函數集合

2.3.1 收斂的類別

2.3.2 函數集合的完備性

2.3.3 N維數域空間和希爾伯特函數空間

2.3.4 正交多項式

2.4 魏爾斯特拉斯定理與多項式逼近

2.4.1 魏爾斯特拉斯定理

2.4.2 多項式逼近

習題

附錄2A數e不是一個有理數的證明

參考文獻

第3章 二階線性常微分方程

3.1 二階線性常微分方程的一般理論

3.1.1 解的存在唯一性定理

3.1.2 齊次方程解的結構

3.1.3 非齊次方程的解

3.2 施圖姆一劉維爾型方程的特徵值問題

3.2.1 施圖姆一劉維爾型方程的形式

3.2.2 施圖姆一劉維爾方程的邊界條件

3.2.3 施圖姆一劉維爾特徵值問題

3.2.4 施圖姆一劉維爾特徵值問題舉例

3.3 施圖姆劉維爾型方程的多項式解集

3.3.1 核函數和權函數的可能的形式

3.3.2 多項式的級數表達式和微商表示

3.3.3 母函數關係

3.3.4 正交的施圖姆劉維爾多項式解集的完備性定理

3.3.5 正交多項式解集在數值積分中的應用

3.4 與多項式的施圖姆一劉維爾系統有關的方程和函數

3.4.1 拉蓋爾函數

3.4.2 勒讓德函數

3.4.3 切比雪夫函數

……

第4章 貝塞爾函數

第5章 狄拉克□函數

第6章 格林函數

第7章 範數

第8章 積分方程

第9章 數論在物理逆問題中的應用

第10章 任意維空間的基礎分析

外國人名英漢對照表

索引

書摘

第9章 數論在物理逆問題中的應用

9.1.1 引言

1.物理逆問題的表述

物理學的基本定律總是以方程的形式在數學上表達出來。例如，經典力學中的牛頓運動方程，量子力學中的薛定諤方程，等等。這樣的方程給出了系統的物理量組之間的關系，支配著物理系統的運動。原則上，從已知的一組物理量可以求出另一組未知的物理量。例如，已知質點的受力情況，就應該可以求出質點的運動軌跡，即質點運動路徑及其與時間的關系。后者是可以從實驗上測量的，又例如，在量子力學中，勢場已知的話，原則上可以由方程求出一個粒子受到這個勢場作用后的散射振幅，后者也是實驗上可測量的物理量。

在考慮問題時，一般根據基本的物理規律，從系統的內稟物理量出發，導出一些實驗上可測的量，并由此來驗證理論是否正確。一個典型的例子是計算品格比熱，在品格振動理論中，由聲子態密度可求得晶格比熱。反過來從比熱求態密度的工作卻很難做，可是比熱能夠從實驗上測得。這樣，很需要有一個從比熱到態密度的逆變換，或者稱為反演，以求得態密度。這個例子表明，實際需要解決的問題經常是反方向進行的。

如果根據物理規律，從一組物理量A可以求出物理量B，那么從物理量B反過來求物理量A的問題就稱為反問題，或者稱為逆問題。這是逆問題的一般表述，在各個領域內，逆問題有著各自具體的表述。

在動力學系統中，就是要根據質點的運動規律求出它所受到的作用力一個最著名的例子是，開普勒總結出了太陽系中行星圍繞太陽運動的三大規律，牛頓據此推導出了行星受到的應該是一個平方反比的吸引力。也就是說，力學中解決的第一個問題就是一個逆問題。在量子力學系統中，需要從實驗上測量的粒子的散射振幅，來反推它的勢場的分布。逆問題在實際工程中有很多應用。

可見，逆問題的出現源于實際的需要。物理量A經常是內稟物理量，不容易從實驗上測量，而物理量月則是實驗上可測量的量。

從數學形式上，兩組物理量A和B之間表現為變換與反變換的形式，其數學形式有簡有繁。例如，最簡單的就是傅里葉變換，通過數學上已知的變換和反變換公式，可較容易地實現由一組量求出另一組量。

逆問題就是要探求逆過程所需要的數學關系，對于品格比熱逆問題來說，就是要找出用比熱表達聲子態密度的顯式。人們已經對各種具體的逆問題，提出了很多解決的方法。解決反演問題的一個重要手段就是依賴數學中的變換和反變換，如傅里葉變換、拉普拉斯變換、漢克爾變換、梅林變換等。第8章介紹的求解積分方程就是逆問題的求解方法之一，但物理公式并不總是恰好能符合或能湊成這些變換形式的，所以需要尋找新的變換。

數學物理方程式及其近似方法(第二版)

ISBN13：9787030491442

出版社：科學出版社

作者：程建春

出版日：2022/02/17

裝訂／頁數：精裝／909頁

規格：26cm*19cm (高/寬)

版次：一版

內容介紹

本書系統論述了數學物理方程式及其近似方法，主要內容包括：數學物理方程式的基本問題、本徵值問題和分離變數法的基本原理、Green函數方法、變分近似方法、積分方程式及其近似方法、微擾方法和漸近展開、數學物理方程式的逆問題，以及非線性數學物理方程式.

目錄

第1章 數學物理方程式的基本問題1

1.1數學物理方程式的分類及一般性問題1

1.1.1基本概念：古典解、廣義解與疊加原理1

1.1.2兩個自變數二階線性方程式的分類與化簡9

1.1.3多個自變數線性方程式的分類與標準型16

1.1.4數學物理方程式的一般性問題19

1.2波動方程式與定解問題的適定性21

1.2.1波動方程式的Cauchy問題21

1.2.2非齊次波動方程式和推遲勢28

1.2.3能量不等式和Cauchy問題的適定性30

1.2.4混合問題解的唯一性與穩定性33

1.2.5般雙…型方程式的能量積分40

1.3 Laplace方程式與Helmholtz方程式43

1.3.1二個自變數的Laplace方程式和Hilbert變換44

1.3.2調和函數的基本性質50

1.3.3邊值問題的適定性53

1.3.4 Helmholtz方程式與輻射問題55

1.3.5般橢圓型方程式的積分估計59

1.4熱傳導方程式與Schrodinger方程式62

1.4.1熱傳導方程式的Cauchy問題62

1.4.2維熱傳導方程式的混合問題68

1.4.3色散型Schrodinger方程式70

1.4.4極值原理和混合問題的適定性74

1.4.5般拋物型方程式的能量積分估計78

1.4.6三類典型方程式定解問題提法比較80

習題一83

第2章 本徵值問題與分離變數法86

2.1 Hilbert空間及完備的正交函數集86

2.1.1 Hilbert空間與平方可積函數空間86

2.1.2完備的正交歸一函數集91

2.1.3有限區間上的完備係：Legendre與Chebvshev多項式98

2.1.4單位球面上的完備係：球諧函數104

2.2微分算子的本徵值問題109

2.2.1Hermite對稱算子及本徵值問題109

2.2.2有限個離散譜或混合譜119

2.2.3非Hermite對稱算子：常微分算子124

2.2.4非Hermite對稱算子：偏微分算子127

2.3 SturmLiouville系統與多項式系統133

2.3.1 SturmLiouville系統133

2.3.2 Bessel算子和Bessel方程式140

2.3.3 Legendre算子和Legendre方程式143

2.3.4 SL多項式系統與Laguerre多項式149

2.3.5 Hermite多項式157

2.4有界區域定解問題的分離變數法161

2.4.1波動方程式的齊次混合問題161

2.4.2熱傳導和色散型方程式的齊次混合問題166

2.4.3橢圓型方程式的邊界值問題171

2.4.4非齊次問題的本徵函數展開174

2.4.5非Hermite對稱算子180

2.5正交…線座標系中的分離變數183

2.5.1球坐標系的Laplace算子183

2.5.2圓錐形區域190

2.5.3量子力學中的氫原子193

2.5.4圓柱座標系中的Laplace算子197

2.5.5柱函數：Bessel函數的幾種不同形式205

2.6無窮區域的分離變數法 212

2.6.1無限大區域：波動方程式的Cauchy問題 212

2.6.2半無限大區域：Laplace方程式的邊界值問題 215

2.6.3徑向無限區域、Hankel變換與平面波導221

2.6.4軸向無限區域和等截面波導229

2.6.5波動方程式的非衍射解235

習題二240

第3章 Green函數方法 243

3.1廣義函數及Dirac Delta函數243

3.1.1廣義函數概念與運算元則243

3.1.2廣義函數的導數 250

3.1.3廣義函數的Fourier變換 254

3.1.4弱收斂、弱解與Dirac Delta函數序列257

3.1.5…線座標中的Dirac Delta函數 265

3.2二階常微分方程的Green函數268

3.2.1Cauchy問題的Green函數268

3.2.2SL型方程式的邊界值問題 273

3.2.3廣義Green函數282

3.2.4非Hermite對稱算子的邊界值問題 288

3.3高維度邊界值問題的Green函數 292

3.3.1非齊次問題的積分公式 292

3.3.2 Helmholtz方程式的Green函數 297

3.3.3無界空間的Green函數與基本解 301

3.3.4鏡像法求邊值問題的Green函數 308

3.3.5…線座標中的基本解 313

3.3.6運動介質中的基本解 318

3.4混合問題的含時Green函數323

3.4.1熱導方程的Green函數323

3.4.2波動方程式的Green函數 329

3.4.3 Cauchy問題的基本解335

3.4.4運動電荷所產生的場 338

3.4.5徑向無限大區域的含時Green函數 342

3.5廣義Green公式及非齊次問題的積分解 344

3.5.1廣義Green公式344

3.5.2三維橢圓型方程式的Green函數 346

3.5.3拋物型方程式的Green函數 351

3.5.4雙…型方程式的Green函數358

3.5.5拋物近似的波動方程式 362

習題三365

第4章 變分近似方法 368

4.1變分問題和古典法368

4.1.1泛函和泛函極值的基本概念368

4.1.2多個變數的變分問題 374

4.1.3變端點問題自然邊界條件與內部邊界條件381

4.1.4泛函的條件極值問題 385

4.1.5Hamilton原理與最小位能原理390

4.2變分法在邊界值問題的應用393

4.2.1邊界值問題與變分問題的等價：正算子 393

4.2.2變分解的存在性：正定算子399

4.2.3 Ritz近似方法403

4.2.4 Galerkin法與非齊次邊界問題409

4.2.5基於Galerkin法的時域問題414

4.3變分法在本徵值問題的應用415

4.3.1本徵值問題與變分問題的等價415

4.3.2完備性定理的證明 421

4.3.3極值定理、本徵值與區域的關係 423

4.3.4 Ritz法和Galerkin法427

4.4有限元素近似方法432

4.4.1維邊值問題的有限元素法432

4.4.2二維邊值問題的有限元素法437

4.4.3基於Galerkin法的時域有限元素近似444

4.4.4本徵值問題的有限元素近似445

4.5變分的其他近似方法447

4.5.1 Kantorovich法一447

4.5.2最速下降法與有界正定算子451

4.5.3共軛梯度法～ 455

4.5.4矩量法和本徵值問題 458

習題四463

第5章 積分方程式及其近似方法465

5.1積分方程的形成與分類 465

5.1.1Volterra積分方程的形成465

5.1.2Fredholm積分方程的形成470

5.1.3積分—微分方程的形成479

5.1.4非線性積分方程的形成 483

5.1.5Abel方程式及第一類積分方程的不適定性討論486

5.2第二類Fredholm積分方程的近似方法489

5.2.1第二類Fredholm方程式的迭代法490

5.2.2 Banach空間中第二類Fredholm方程式的迭代技術493

5.2.3可分核方程式和有限秩核近似501

5.2.4矩量法和Galerkin近似512

5.2.5 Nvstrom方法515

5.2.6非線性積分方程的迭代法518

5.3平方可積函數空間中的積分方程式520

5.3.1 Hermite對稱的平方可積核520

5.3.2第二類Fredholm積分方程及微擾論527

5.3.3平方可積Hermite對稱核的極值性質 531

5.3.4本徵值問題的有限秩近似533

5.3.5般平方可積核 535

5.4 Fourier變換及其他積分變換538

5.4.1 Fourier變換及逆變換538

5.4.2分數導數和分數Laplace算符543

5.4.3分數階Fourier變換547

5.4.4 Laplace變換與Hankel變換552

5.4.5 Hilbert變換及逆變換557

5.5邊界元近似方法559

5.5.1 Kirchhoff邊界積分公式559

5.5.2位勢問題的邊界元近似 5…

5.5.3 Helmholtz方程式的外邊值問題567

5.5.4 時域邊界元近似 571

習題五578

第6章 微擾方窪與漸近展開581

6.1本徵值問題的微擾與含時微擾581

6.1.1算子本身的微擾：非簡併態581

6.1.2算子本身的微擾：簡併態584

6.1.3邊界條件的微擾 591

6.1.4區域微擾603

6.1.5 Schrodinger方程式的含時微擾607

6.2正則微擾與多尺度展開 610

6.2.1致有效展開 610

6.2.2非一致有效展開和參數變形法615

6.2.3參數變形法應用於非線性振動與波動618

6.2.4多尺度展開法 622

6.2.5均質化近似方法 627

6.3奇異微擾及邊界層理論 637

6.3.1邊界層理論的基本思想 637

6.3.2二階線性方程式的邊界值問題…2

6.3.3非線性微擾所引起的邊界層…8

6.3.4初值問題的邊界層 652

6.3.5高維度邊值問題的邊界層 658

6.4 WKB近似方法667

6.4.1 WKB近似和Liouville Green變換667

6.4.2具有轉折點的本徵值問題和Airy函數675

6.4.3非均勻波導中的波 682

6.4.4層狀介質中高頻波的傳播與激發687

6.5射線近似f幾何光學）方法696

6.5.1程函方程式與輸運方程式 697

6.5.2射線管的能量守恆703

6.5.3焦散線附近的波場705

6.5.4平面層狀介質中的射線706

習題六710

第7章 數學物理方程式的逆問題713

7.1正則化方法與迭代技術713

7.1.1逆問題的適定性與分類713

7.1.2正則化方法和Tikhonov正則化724

7.1.3第一類Fredholm積分方程的正則化方法731

7.1.4脈衝譜迭代技術733

7.1.5最佳攝動量迭代技術735

7.2掀物型方程式的逆問題738

7.2.1維逆問題和Hausdorff矩逆問題一738

7.2.2拋物方程式逆問題的脈衝譜迭代技術746

7.2.3拋物型方程式逆問題的最佳攝動量法754

7.2.4光熱測量中熱導係數的反演758

7.2.5環境污染控制的逆源問題一763

7.3橢圓型方程式的逆問題765

7.3.1 Cauchy問題的積分方程法765

7.3.2 Cauchy問題的基本解法769

7.3.3 Cauchy問題的邊界元法773

7.3.4橢圓型方程式的係數逆問題776

7.3.5橢圓方程的逆源問題784

7.4波動方程的逆問題786

7.4.1係數逆問題的迭代法786

7.4.2散射體的散射和Kirchhoff近似793

7.4.3散射體形狀的逆散射801

7.4.4非均勻介質的散射Born近似和Rvtov近似807

7.4.5介質參數的逆散射813

7.5本徵值逆問題817

7.5.1本徵值的漸近特徵817

7.5.2本徵值逆問題的唯一性822

7.5.3熱導方程式係數逆問題的唯一性826

7.5.4數值方法829

7.5.5高維本徵值逆問題833

習題七835

第8章 非線性數學物理方程式837

8.1典型非線性方程式及其行波解837

8.1.1 Burgers方程式及衝擊波837

8.1.2 KdV方程式及孤立波 842

8.1.3非線性KleinGordon方程式846

8.1.4非線性Schrodinger方程式一851

8.1.5 KdVBurgers方程式一854

8.2 HopfCole變換和Hirota方法859

8.2.1 Burgers方程式的HopfCole變換860

8.2.2 KdV窮程的廣義Hopf Cole變換865

8.2.3 KdVBurgers方程式的廣義HopfCole變換869

8.2.4 Hirota方法870

8.3逆散射方法和Lax理論874

8.3.1維Schrodinger方程式的逆散射問題874

8.3.2解KdV方程式初值問題的基本思想 883

8.3.3KdV方程式初值問題的孤立子解886

8.3.4 Lax理論892

8.4 Backlund變換與非線性迭加895

8.4.1 Backlund變換的基本思想895

8.4.2 SineGordon方程式的自Backlund變換896

8.4.3 KdV方程式的自Backlund變換900

8.4.4非線性迭加公式903

習題八906

參考文獻908